Teoria della variazione

In questo capitolo facciamo alcuni richiami di teoria dell’integrazione deterministica secondo Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. Purtroppo le traiettorie di un moto Browniano (e, in generale, delle martingale) non hanno la regolarità sufficiente per poter utilizzare tali teorie al fine di definire l’integrale Browniano in senso deterministico, traiettoria per traiettoria. Per comprendere questo fatto occorre introdurre i concetti di variazione prima e seconda (o quadratica) di una funzione che sono cruciali nella costruzione dell’integrale stocastico. Nella seconda parte del capitolo introduciamo un’importante classe di processi stocastici chiamati semimartingale. Una semimartingala è la somma di una martingala locale con un processo le cui traiettorie hanno variazione prima limitata: sotto opportune ipotesi, tale decomposizione è unica. Proviamo una versione particolare del fondamentale Teorema di decomposizione di Doob-Meyer: se \(X\) è una martingala allora \(X^{2}\) è una semimartingala, ossia può essere decomposta nella somma di una martingala e di un processo a variazione limitata: quest’ultimo è il cosiddetto processo variazione quadratica di \(X\) . I risultati di questo capitolo sono alla base della definizione di integrale stocastico che daremo nel capitolo seguente.