Processi continui

La nozione di continuità per processi stocastici, benché intuitiva, nasconde qualche piccola insidia e va pertanto analizzata con attenzione. Nel seguito assumiamo che \(I\) sia un intervallo reale della forma \(I=[0,T]\) oppure \(I=[0,+\infty[\) . Inoltre indichiamo con \(C(I)\) l’insieme delle funzioni continue da \(I\) a valori reali. Nella prima parte del capitolo, verifichiamo un fatto molto naturale e non inatteso: un processo continuo può essere definito come una variabile aleatoria a valori nello spazio delle funzioni continue \(C(I)\) , invece che nello spazio \({\mathbb{R}}^{I}\) di tutte le traiettorie come nella definizione generale di processo stocastico (cfr. Definizione 1.1.3). Di seguito proviamo il fondamentale Teorema di continuità di Kolmogorov in base al quale, a meno di modificazioni, si può dedurre la continuità di un processo da una condizione sulla sua legge: si tratta di un risultato profondo perché permette di ricavare una proprietà ‘‘puntuale’’ (delle singole traiettorie) a partire da una condizione ‘‘in media’’ (sulla legge del processo).