Introduzione alle PDE paraboliche

In questo capitolo presentiamo in maniera per quanto possibile sintetica alcuni risultati di base sull’esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy per equazioni differenziali alle derivate parziali (abbreviato nel seguito in PDE, dalla locuzione anglosassone ‘‘partial differential equations’’) di tipo parabolico. Le monografie di Friedman [49], Ladyzhenskaia, Solonnikov e Ural’tseva [84], Oleinik and Radkevic [103] anche se un po’ datate, sono classici testi di riferimento per una trattazione più completa e approfondita. Consideriamo un operatore alle derivate parziali del second’ordine della forma 20.0.1 \(\displaystyle{\cal{L}}:=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{N}c_{ij}(t,x)\partial_{x_{i}x_{j}}+\sum_{j=1}^{N}b_{j}(t,x)\partial_{x_{j}}+a(t,x)-\partial_{t}\) definito per \((t,x)\) appartenente alla striscia 20.0.2 \(\displaystyle\mathcal{S}_{T}:=\mathopen{]}0,T\mathclose{[}\times{\mathbb{R}}^{N},\) dove \(T> 0\) è fissato. Assumiamo che la matrice dei coefficienti \((c_{ij})\) sia simmetrica e semi-definita positiva: in tal caso si dice che \({\cal{L}}\) è un operatore parabolico forward.