Soluzioni deboli

In questo capitolo forniamo risultati di risolubilità e unicità debole per SDE con coefficienti 18.0.1 \(\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle b=b(t,x)&\displaystyle:\mathopen{]}0,T\mathclose{[}\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N},\\ \displaystyle{\sigma}={\sigma}(t,x)&\displaystyle:\mathopen{]}0,T\mathclose{[}\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N\times d},\end{aligned}\) dove \(N,d\in{\mathbb{N}}\) e \(T> 0\) sono fissati. A tal fine, introduciamo il classico ‘‘problema della martingala’’ di Stroock e Varadhan [135]. Si tratta di un problema relativo alla costruzione di una distribuzione rispetto alla quale il processo canonico \(\mathbf{X}\) sia una semimartingala con drift \(b(t,\mathbf{X}_{t})\) e matrice di covariazione \(({\sigma}{\sigma}^{\ast})(t,\mathbf{X}_{t})\) . La soluzione del problema della martingala, se esiste, è la legge della soluzione della corrispondente SDE: in effetti, il problema della martingala risulta equivalente al problema della risolubilità debole.