Equazioni stocastiche lineari

In questo capitolo consideriamo equazioni stocastiche della forma 16.0.1 \(\displaystyle dX_{t}=(BX_{t}+b)dt+{\sigma}dW_{t}\) dove \(B\in{\mathbb{R}}^{N\times N}\) , \(b\in{\mathbb{R}}^{N}\) , \({\sigma}\in{\mathbb{R}}^{N\times d}\) e \(W\) è un moto Browniano \(d\) -dimensionale. La (16.0.1) è un caso particolare della (14.1.1) con i coefficienti \(b(t,x)=Bx+b\) e \({\sigma}(t,x)={\sigma}\) che sono funzioni lineari della variabile \(x\) (in realtà il coefficiente di diffusione è addirittura costante) e pertanto diciamo che (16.0.1) è una SDE lineare. In questo capitolo esibiamo l’espressione esplicita della soluzione e studiamo le proprietà della sua legge di transizione, con particolare attenzione al caso assolutamente continuo, fornendo condizioni per l’esistenza della densità di transizione.