Formule di Feynman-Kac

Consideriamo la SDE 15.0.1 \(\displaystyle dX_{t}=b(t,X_{t})dt+{\sigma}(t,X_{t})dW_{t}.\) dove \(W\) è un moto Browniano \(d\) -dimensionale e \(\begin{aligned}\displaystyle b=b(t,x):\mathopen{]}0,T[\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N},\qquad{\sigma}={\sigma}(t,x):\mathopen{]}0,T[\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N\times d}.\end{aligned}\) Alla SDE (15.0.1) è associato in modo naturale l’operatore 15.0.2 \(\displaystyle\mathcal{A}_{t}:=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{N}c_{ij}(t,x)\partial_{x_{i}x_{j}}+\sum_{j=1}^{N}b_{j}(t,x)\partial_{x_{j}},\qquad c:={\sigma}{\sigma}^{\ast},\) che, per la formula di Itô, appare nel termine di drift del differenziale stocastico di \(u(t,X_{t})\) .