Equazioni differenziali stocastiche

A partire da questo capitolo iniziamo lo studio delle equazioni differenziali stocastiche, nel seguito abbreviate in SDE dalla locuzione anglosassone ‘‘stochastic differential equations’’. Come anticipato nella Sezione 2.6, tali equazioni sono state originalmente introdotte per la costruzione di processi di Markov continui o diffusioni. Nel tempo le SDE hanno assunto un ruolo centrale per la modellizzazione stocastica in molteplici campi applicativi, al fine di generalizzare le equazioni differenziali deterministiche introducendo un fattore di perturbazione aleatoria. Le SDE permettono anche la costruzione di esempi espliciti di semimartingale continue. In questo capitolo introduciamo la nozione di soluzione di una SDE e i relativi problemi di esistenza e unicità che hanno una duplice formulazione, in senso debole e forte. Diamo un risultato molto particolare di esistenza e unicità da cui si deducono alcune peculiarità delle SDE rispetto alle usuali equazioni deterministiche, fra cui il cosiddetto ‘‘effetto regolarizzante del rumore’’. Vediamo che è possibile trasferire lo studio di una SDE in un ambiente canonico e analizziamo la relazione fra risolubilità in senso debole e forte. Infine, proviamo alcune stime preliminari di dipendenza continua e sommabilità delle soluzioni.