Integrazione stocastica secondo Itô

In questo capitolo costruiamo l’integrale stocastico \(\begin{gathered}\displaystyle X_{t}:=\int_{0}^{t}u_{s}dB_{s},\qquad t\geq 0,\end{gathered}\) inteso come processo stocastico al variare dell’estremo di integrazione. Assumeremo opportune ipotesi sul processo integrando \(u\) e sul processo integratore \(B\) . Il prototipo di integratore è il moto Browniano: poiché le traiettorie di un moto Browniano non hanno variazione limitata, non possiamo adottare la teoria deterministica dell’integrazione secondo Lebesgue-Stieltjes per definire l’integrale traiettoria per traiettoria. Seguiremo invece la costruzione dovuta a Kiyosi Itô (1915-2008) che è basata sulla teoria della variazione presentata nel Capitolo 9 e sfrutta l’ipotesi cruciale che il processo integrando \(u\) sia progressivamente misurabile. La costruzione dell’integrale stocastico è per certi versi analoga a quella dell’integrale di Lebesgue ma è decisamente più lunga e laboriosa: si parte dai processi \(u\) ‘‘semplici’’, ossia costanti a tratti nel tempo, fino ad arrivare a \(u\) progressivamente misurabile con traiettorie che verificano una debole ipotesi di sommabilità rispetto alla variabile temporale. Un’importante tappa intermedia è quella in cui \(u\) è un ‘‘processo di quadrato sommabile’’ (cfr. Definizione 10.1.1); in tal caso, l’integrale stocastico gode di alcune proprietà notevoli: è una martingala continua di quadrato sommabile, ossia appartiene allo spazio \({\mathcal{M}}^{c,2}\) , vale la cosiddetta isometria di Itô e infine il processo variazione quadratica è dato esplicitamente da L’ultima parte del capitolo è dedicata alla definizione di integrale stocastico nel caso in cui sia una . Introdurremo anche l’importante classe dei che sono semimartingale continue che si esprimono in modo unico come somma di un integrale di Lebesgue (di un processo progressivamente misurabile e sommabile) con un integrale stocastico Browniano.