Processi stocastici

Le variabili aleatorie descrivono lo stato di un fenomeno aleatorio, per esempio una posizione non osservabile con certezza di una particella in un modello della fisica o il prezzo in una data futura di un titolo azionario in un modello finanziario. I processi stocastici descrivono la dinamica, nel tempo o in dipendenza da altri parametri, di un fenomeno aleatorio. Si può definire un processo stocastico come una famiglia parametrizzata di variabili aleatorie, ognuna delle quali rappresenta lo stato del fenomeno corrispondente ad un fissato valore dei parametri. Un semplice processo stocastico, il processo binomiale, era già stato introdotto nel primo volume [113], Esempio 2.6.4, per modellizzare l’evoluzione nel tempo del prezzo di un titolo finanziario rischioso. Da un punto di vista più astratto, un processo stocastico può essere definito come una variabile aleatoria a valori in uno spazio funzionale, tipicamente uno spazio di curve di \({\mathbb{R}}^{N}\) : ogni curva rappresenta una traiettoria o possibile evoluzione del fenomeno in \({\mathbb{R}}^{N}\) al variare dei parametri. La teoria dei processi stocastici è oggigiorno uno dei campi della matematica più ricchi e affascinanti: segnaliamo l’eccellente articolo di rassegna [97] che, con dovizia di spunti, racconta la storia della ricerca sui processi stocastici dalla metà del secolo scorso in poi.