Dieses Kapitel widmet sich der systematischen Untersuchung der inneren Struktur und der Morphismenelliptischer Kurven. Ausgehend von der abstrakten geometrischen Definition wird zunächst hergeleitet, dass sich jedeelliptische Kurve durch eine explizite Weierstraß-Gleichung darstellen lässt. Auf dieser Grundlage wird dasgeometrische Sekanten-Tangenten-Verfahren zur Punktaddition formalisiert und mithilfe der Divisorentheorie alsalgebraisches Gruppengesetz verifiziert. Dies stattet die Kurve mit der Struktur einer algebraischen Gruppe aus. ImAnschluss rücken Abbildungen zwischen elliptischen Kurven in den Fokus: Der Rigiditätssatz beweist, dass rationale,basispunkterhaltende Abbildungen zwingend Gruppenhomomorphismen – sogenannte Isogenien – definieren. DasKapitel klassifiziert diese systematisch in separable und inseparable Isogenien und analysiert die spezifische Rolledes Frobenius-Morphismus. Den theoretischen Abschluss bildet die Konstruktion der dualen Isogenie, welche einfundamentales Werkzeug für die weiterführende arithmetische Analyse darstellt.