Themen der Aufgaben ■ Differentialgleichung für die Exponentialfunktion \(y{\prime} = py + q,\quad p,\,q\, \in {\mathbb{R}}\) → 1.1, 1.2, 1.7, 1.11 ■ Tangentenfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung → 1.3 ■ Lineare Differentialgleichung erster Ordnung \(y{\prime} = p\left( x \right)y + f\left( x \right)\) → 1.4, 1.5, 1.6 ■ RL-Schaltkreis \(LI{\prime} + RI = U_{\max } \sin \left( {2\pi ft} \right)\) → 1.7 ■ Methode der unbestimmten Koeffizienten \(y{\prime} - py = f\) mit \(f\) einem Polynom, einer Exponentialfunktion oder einem trigonometrischen Polynom → 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.12 Verunreinigung eines Sees \(\frac{dm\left( t \right)}{{dt}} = r_{in} c_{in} - r_{out} \frac{m\left( t \right)}{{V\left( t \right)}}\) → 1.11 ■ Separable Differentialgleichung \(g\left( y \right)dy = f\left( x \right)\,dx\) → 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.23 ■ Leeren eines Tanks \(\frac{{r\left( h \right)^{2} }}{{r\left( 0 \right)^{2} \sqrt h }}h{\prime} = - \sqrt {2g}\) → 1.15 ■ Logistisches Modell \(u{\prime} = u\left( {p - u} \right) + f\) → 1.16 ■ Beschleunigung eines Porsche 911 \( mv^{\prime} = F - cv^{2}\) → 1.17 ■ Orthogonale Kurvenscharen \(\Gamma :\,y = cx^{3} ,\,c \in {\mathbb{R}} \to \Gamma^{ \bot }\) → 1.18 ■ Verfolgung auf hoher See \(\frac{{f^{^{\prime\prime}} \left( x \right)}}{{\sqrt {1 + f{\prime} \left( x \right)}^{2} }} = \frac{1}{2x}\) → 1.19 ■ Bernoulli-Differentialgleichung \(y{\prime} = p\left( x \right)y + q\left( x \right)y\left( x \right)^{n}\) → 1.20 ■ Ricatti-Differentialgleichung \(y{\prime} \left( x \right) = a\left( x \right)y\left( x \right) + b\left( x \right)y\left( x \right)^{2} + f\left( x \right)\) → 1.21 ■ Lineare Substitution \(z\left( x \right) = a + bx + cy\left( x \right)\) → 1.22 ■ Differentialgleichung mit homogener rechter Seite \(y{\prime} = \left. {f\left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y x}} \right. \kern-0pt} x}} \right)} \right|\) → 1.23 ■ Exakte Differentialgleichung \(p\left( {x,y} \right)dx + q\left( {x,y} \right)dy = 0\;\) mit \(\partial_{y} p = \partial_{x} q\) → 1.24, 1.25 ■ Integrierender Faktor ⇝ exakte Differentialgleichung → 1.26 ■ Diskretisierungsfehler → 1.27 ■ Euler-Verfahren \(y\left( {x + h} \right) \approx y\left( x \right) + hf\left( {x,y\left( x \right)} \right)\) → 1.28 ■ Numerisches Verfahren, basierend auf Taylor-Approximation uT = taylor(f,df,T,n,u0) → 1.29 ■ Differentialgleichungen mit MapleTM → 1.30 ■ Differentialgleichungen mit Matlab® Anfangs- und Randwertprobleme → 1.29, 1.31, 1.32 ■ Gleichgewichtslösungen skalarer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung \(y{\prime} = f\left( y \right),\;f\left( {y_{ * } } \right) = 0\) → 1.33

Differentialgleichungen erster Ordnung

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发表日期：

2025年

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Klaus Höllig,
Jörg Hörner

摘要

Themen der Aufgaben ■ Differentialgleichung für die Exponentialfunktion \(y{\prime} = py + q,\quad p,\,q\, \in {\mathbb{R}}\) → 1.1, 1.2, 1.7, 1.11 ■ Tangentenfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung → 1.3 ■ Lineare Differentialgleichung erster Ordnung \(y{\prime} = p\left( x \right)y + f\left( x \right)\) → 1.4, 1.5, 1.6 ■ RL-Schaltkreis \(LI{\prime} + RI = U_{\max } \sin \left( {2\pi ft} \right)\) → 1.7 ■ Methode der unbestimmten Koeffizienten \(y{\prime} - py = f\) mit \(f\) einem Polynom, einer Exponentialfunktion oder einem trigonometrischen Polynom → 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.12 Verunreinigung eines Sees \(\frac{dm\left( t \right)}{{dt}} = r_{in} c_{in} - r_{out} \frac{m\left( t \right)}{{V\left( t \right)}}\) → 1.11 ■ Separable Differentialgleichung \(g\left( y \right)dy = f\left( x \right)\,dx\) → 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.23 ■ Leeren eines Tanks \(\frac{{r\left( h \right)^{2} }}{{r\left( 0 \right)^{2} \sqrt h }}h{\prime} = - \sqrt {2g}\) → 1.15 ■ Logistisches Modell \(u{\prime} = u\left( {p - u} \right) + f\) → 1.16 ■ Beschleunigung eines Porsche 911 \( mv^{\prime} = F - cv^{2}\) → 1.17 ■ Orthogonale Kurvenscharen \(\Gamma :\,y = cx^{3} ,\,c \in {\mathbb{R}} \to \Gamma^{ \bot }\) → 1.18 ■ Verfolgung auf hoher See \(\frac{{f^{^{\prime\prime}} \left( x \right)}}{{\sqrt {1 + f{\prime} \left( x \right)}^{2} }} = \frac{1}{2x}\) → 1.19 ■ Bernoulli-Differentialgleichung \(y{\prime} = p\left( x \right)y + q\left( x \right)y\left( x \right)^{n}\) → 1.20 ■ Ricatti-Differentialgleichung \(y{\prime} \left( x \right) = a\left( x \right)y\left( x \right) + b\left( x \right)y\left( x \right)^{2} + f\left( x \right)\) → 1.21 ■ Lineare Substitution \(z\left( x \right) = a + bx + cy\left( x \right)\) → 1.22 ■ Differentialgleichung mit homogener rechter Seite \(y{\prime} = \left. {f\left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y x}} \right. \kern-0pt} x}} \right)} \right|\) → 1.23 ■ Exakte Differentialgleichung \(p\left( {x,y} \right)dx + q\left( {x,y} \right)dy = 0\;\) mit \(\partial_{y} p = \partial_{x} q\) → 1.24, 1.25 ■ Integrierender Faktor ⇝ exakte Differentialgleichung → 1.26 ■ Diskretisierungsfehler → 1.27 ■ Euler-Verfahren \(y\left( {x + h} \right) \approx y\left( x \right) + hf\left( {x,y\left( x \right)} \right)\) → 1.28 ■ Numerisches Verfahren, basierend auf Taylor-Approximation uT = taylor(f,df,T,n,u0) → 1.29 ■ Differentialgleichungen mit MapleTM → 1.30 ■ Differentialgleichungen mit Matlab® Anfangs- und Randwertprobleme → 1.29, 1.31, 1.32 ■ Gleichgewichtslösungen skalarer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung \(y{\prime} = f\left( y \right),\;f\left( {y_{ * } } \right) = 0\) → 1.33