Die Eigenwerttheorie ist der Schlüssel zur Lösung vieler praxisrelevanter Probleme. Beispiele sind die Bestimmung von Hauptträgheitsachsen in der Mechanik, die Lösung und Stabilitätsanalyse von Differentialgleichungen sowie das Jordansche Normalformproblem, das in Kapitel 4 formuliert wurde. Ausgangspunkt ist eine quadratische Matrix A, für die wir die Eigenwertgleichung Ax = λx aufstellen. Die Eigenwerte λ bestimmen wir als Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Der in Kapitel 6 behandelte Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass das charakteristische Polynom innerhalb der komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt. Die zu jedem Eigenwert λ gehörenden Eigenvektoren x bestimmen wir mit Hilfe der in Kapitel 3 entwickelten Methoden als Lösung eines linearen Gleichungssystems. Der einfachste und wichtigste Spezialfall des Jordanschen Normalformproblems ist die Diagonalisierung von Matrizen. Wir lösen dieses Problem durch Koordinatentransformation auf eine Basis aus Eigenvektoren. Dabei geben wir allgemeine Kriterien für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix an. In vielen Anwendungen treten symmetrische (oder hermitesche) Matrizen auf. Diese sind immer diagonalisierbar und haben ausschließlich reelle Eigenwerte. Wir verwenden die Methode der Hauptachsentransformation, um sie mit Hilfe einer orthogonalen (oder unitären) Transformationsmatrix zu diagonalisieren.