In diesem Kapitel werden die wesentlichen Aussagen der Teilbarkeitslehre aus Kap. 1 auf Hauptidealringe übertragen und Konsequenzen daraus gezogen. Ein wichtiger Begriff ist der des irreduziblen Polynoms. Wir lernen eine Möglichkeit kennen, ausgehend von einem Körper größere Körper zu konstruieren. Zudem erarbeiten wir uns ein Kriterium, mit dem sich die Irreduzibilität eines gegebenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten überprüfen lässt. Wir lernen den Elementarteilersatz und damit eng verknüpft den Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen kennen. Faktorielle Ringe bieten sich dann als naheliegende Verallgemeinerung der Hauptidealringe an.