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Für Abbildungen mit mehrdimensionalem Definitionsbereich (Skalarfelder und Vektorfelder) werden grundlegende Differenzierbarkeitsbegriffe (partielle Ableitung, Richtungsableitung, totale Ableitung) eingeführt und ihre Zusammenhänge ausgeführt. Zur Vertauschbarkeit höherer Ableitungen wird der Satz von Schwarz behandelt. Die Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation sowie der Laplace-Operator werden vorgestellt und (als Bonusmaterial) am Beispiel von Strömungen veranschaulicht. Weiterhin werden die mehrdimensionale Kettenregel, der Mittelwertsatz für skalare Felder, der Schrankensatz und höhere Ableitungen (insbesondere die Hesse-Matrix) behandelt. Das Kapitel endet mit der Taylorentwicklung im skalar- und vektorwertigen Fall sowie hinreichenden und notwendigen Optimalitätsbedingungen zur Extremwertbestimmung im Mehrdimensionalen.

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Differenzierbare Abbildungen auf dem \(\mathbb {R}^{\boldsymbol{n}}\)

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  • 发表日期：

    2026年

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  • Martin Brokate,
  • Johannes Zimmer,
  • Florian Lindemann

摘要

Für Abbildungen mit mehrdimensionalem Definitionsbereich (Skalarfelder und Vektorfelder) werden grundlegende Differenzierbarkeitsbegriffe (partielle Ableitung, Richtungsableitung, totale Ableitung) eingeführt und ihre Zusammenhänge ausgeführt. Zur Vertauschbarkeit höherer Ableitungen wird der Satz von Schwarz behandelt. Die Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation sowie der Laplace-Operator werden vorgestellt und (als Bonusmaterial) am Beispiel von Strömungen veranschaulicht. Weiterhin werden die mehrdimensionale Kettenregel, der Mittelwertsatz für skalare Felder, der Schrankensatz und höhere Ableitungen (insbesondere die Hesse-Matrix) behandelt. Das Kapitel endet mit der Taylorentwicklung im skalar- und vektorwertigen Fall sowie hinreichenden und notwendigen Optimalitätsbedingungen zur Extremwertbestimmung im Mehrdimensionalen.