Dieses Kapitel führt wichtige Begriffe des mengentheoretischen Unabhängigkeitsphänomens ein, z. B. formale Sprachen, formale Theorien, Axiome, Beweisbarkeit in einer Theorie und Modelle einer Theorie. Außerdem erläutert es den engen Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik (Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik erster Stufe, Löwenheim-Skolem-Theorem). Anschließend wenden wir uns dem Unabhängigkeitsbeweis der Kontinuumshypothese zu. Ein Unabhängigkeitsbeweis einer mengentheoretischen Aussage besteht aus der Konstruktion von zwei Modellen der Theorie ZFC, einem Modell, in dem die Aussagen wahr ist, und einem Modell, in dem die Aussage falsch ist. In Bezug auf die Kontinuumshypothese hat Kurt Gödel das innere Modell L definiert, in dem CH wahr ist. Paul Cohen hat anschließend ein Forcingmodell konstruiert, in dem CH falsch ist. Cohens Forcingkonstruktion besteht aus vier Teilbeweisen. In einem Teilbeweis muss gezeigt werden, dass aus einem abzählbaren Modell ein etwas größeres Modell gebaut werden kann, in dem es mindestens \(\aleph _2\) viele reelle Zahlen gibt. Diesen Schritt sehen wir uns in diesem Kapitel genauer an. Mehrere Abbildungen veranschaulichen die Erklärungen.