Die Geometrie ist eines der ältesten Gebiete der Mathematik. Ausgehend von konkreten Landvermessungsproblemen über erste Formalisierungsversuche durch die Schule Euklids umfasst der Begriff Geometrie heute viele verschiedene Methoden und Denkrichtungen der modernen Mathematik. In diesem Kapitel möchten wir die klassischen Geometrien der Ebene und Sphäre beleuchten und einige Ausblicke auf moderne Themen bieten. Eine umfassende Einführung würde mehrere Bücher füllen.