Die Darstellung der Differentialgeometrie in RZM 5 wird kommentiert. Weyl beginnt mit Anmerkungen zur nichteuklidischen Geometrie und der Gaußschen Differentialgeometrie im Zweidimensionalen. Beiläufig macht er seine Leser/innen mit n-dimensionalen ,,stetigen“ (d. h. hier stets differenzierbaren) Mannigfaltigkeit vertraut. Den Aufbau der n-dimensionalen Differentialgeometrie beginnt er mit dem Konzept des affinen Zusammenhangs (,,Parallelverschiebung“) und dessen Krümmungstensors. Die Metrik führt er im verallgemeinerten Sinne ein, später als Weylsche Metrik bezeichnet (§ 17). Die Riemannsche Geometrie erscheint dann als Spezialfall und wird nur angedeutet. Im letzten Abschnitt (§ 19) skizziert Weyl seine neue Analyse des Raumproblems. Die Textkommentare werden durch einige historische Erläuterungen ergänzt (Differentialgeometrie in den 1920er-Jahren, Anmerkungen zur differenzierbaren Struktur von Mannigfaltigkeiten und das Konzept eichkovarianter Felder).