Zentraler Grenzwertsatz

Man kann die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen so lesen, dass \(S_{N}=\sum_{k=1}^{N}X_{k}-\mathbb{E}X\) „langsamer als \(N\) wächst“. Aus dieser Sicht klärt der zentrale Grenzwertsatz die natürliche Folgefrage nach der Wachstumsgeschwindigkeit und einer genaueren Beschreibung des Grenzverhaltens. Hierbei kommt die Normalverteilung ins Spiel und das Wichtige am zentralen Grenzwertsatz ist, dass er deren zentrale Rolle im Modellieren zufälliger Vorgänge, die aus vielen unabhängigen Einzeleinflüssen entstehen, klärt. Der Satz wird zunächst explizit für den Fall, dass \(X\) nur zwei Werte annehmen kann, mit Hilfe der Stirlingformel bewiesen. Dieser Beweis setzt nicht (auch nicht heuristisch) eine Vorvermutung über das Ergebnis voraus. Anschließend wird an die Verwendung von Fourierreihen (was in der Wahrscheinlichkeitstheorie oft unter dem Begriff „charakteristische Funktionen“ läuft) zum Beweis einer allgemeineren Version herangeführt.