Die Raumzeit der ART wird durch einen vierdimensionalen pseudo-Riemann’schen Raum beschrieben, dessen „innere Geometrie“ durch die „Metrik“ \(g_{ik}(x^l)\) bestimmt ist. Vektoren und Tensoren können durch das Verhalten ihrer Komponenten bei beliebigen Koordinatentransformationen definiert werden. Der Minkowski-Raum, für den in geeigneten Koordinaten \(g_{ik}\equiv \eta _{ik}\) gilt, ist als Spezialfall („flache Raumzeit“) enthalten. Im Allgemeinen, wenn die Raumzeit nicht flach, sondern gekrümmt ist, kann man in jedem herausgegriffenen Punkt P der Raumzeit durch eine Koordinatentransformation \(g_{ik}(\textrm{P})=\eta _{ik}\) und \(g_{ik,l}(\textrm{P})=0\) erreichen. Ein solches „lokales Inertialsystem“ kann mathematisch mit dem Tangentialraum und physikalisch mit dem Äquivalenzprinzip in Zusammenhang gebracht werden. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels lernen wir eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung kennen, die „kovariante Ableitung“, die zur allgemein kovarianten Formulierung physikalischer Gesetze benötigt wird.