In diesem Kapitel werden mathematische Hilfsmittel bereitgestellt, die eine systematische Lösung ausgewählter physikalischer Probleme im Rahmen der ART möglich machen. Zunächst wird gezeigt, wie man Symmetrien der Raumzeit und physikalischer Felder in koordinatenunabhängiger Weise charakterisieren kann. Eine wichtige Rolle spielt dabei das Konzept der Killing-Vektoren, mit deren Hilfe man auch allgemein kovariante Erhaltungssätze gewinnen kann. Die Einstein-Maxwell-Gleichungen außerhalb der Quellen gehören im stationären und axialsymmetrischen Fall zu einer ganz besonderen Klasse nichtlinearer partieller Differenzialgleichungssysteme, wie sie vor allem aus der Solitonentheorie bekannt sind: Sie lassen sich als Integrabilitätsbedingung eines zugehörigen linearen „Spektralproblems“ formulieren. Das ermöglicht die Anwendung raffinierter Methoden sowohl zur Erzeugung spezieller exakter Lösungen als auch zur strengen Lösung von Randwertproblemen.