In Abschn. 2.4 hatten wir einen idealen Kristall besprochen und seine innere Energie sowie seine Wärmekapazität aus dem quantenhaften Verhalten seiner Atome abgeleitet. Dieser sogenannte Einstein-Kristall war dadurch gekennzeichnet, dass seine Atome unter dem Einfluss ihrer thermischen Energie alle mit der gleichen Frequenz harmonische Schwingungen ausführen. Damit ließ sich die Wärmekapazität bei tiefer Temperatur recht genau reproduzieren, auf etwa 10 %. Allerdings liefert diese Theorie keine mechanischen Eigenschaften, wie zum Beispiel die thermische Ausdehnung oder die Kompressibilität. Denn dazu müsste die Ortsabhängigkeit der potenziellen Energie der Atome in die Berechnung einbezogen werden. Und die Schwingungen wären dann nicht mehr harmonisch, das heißt ihre rücktreibende Kraft ist nicht proportional zur Auslenkung. Das sieht man zum Beispiel in Abb. 10.4 für die elektrische Kraft zwischen zwei Atomen. Bei derartigen nichtharmonischen Bewegungen liefert die Quantenphysik keine geschlossenen Ausdrücke für die Schwingungsenergie. Man kann daher die Zustandszahlen auch nicht einfach abzählen wie beim Einstein-Kristall. Was man jedoch bei genauer Überlegung berechnen kann, das sind die Frequenzen der schwingenden Atome. Diese bewegen sich in Wirklichkeit nicht unabhängig voneinander, sondern vielfach gekoppelt. Und ihre Schwingungen breiten sich im Kristall in Form mechanischer Wellen aus. Das hat Peter Debye im Jahr 1912 näher untersucht. Und es gelang ihm so, die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität von Kristallen auch bei tiefen Temperaturen mit großer Genauigkeit zu berechnen.