Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung

In diesem Kapitel werden wir mit der QR-Zerlegung die stabile Zerlegung einer Matrix \(A\in \mathbb {R}^{n\times n}\) in eine rechte obere Dreiecksmatrix \(R\in \mathbb {R}^{n\times n}\) und in eine orthogonale Matrix Q, analysieren. Die QR-Zerlegung ist stabiler als die LR-Zerlegung und kann zum Lösen linearer Gleichungssysteme herangezogen werden. Darüber hinaus werden wir die QR-Zerlegung auch auf nicht-quadratische Matrizen \(A\in \mathbb {R}^{n\times m}\) mit \(m>n\) erweitern und sie anschließend zum Lösen überbestimmter linearer Gleichungssysteme verwenden. Schließlich ist die QR-Zerlegung aber auch die Grundlage von effizienten Algorithmen zur Berechnung von Eigenwerten.