Lineare Gleichungssysteme

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) ist eine der wichtigsten numerischen Aufgaben. Oft sind Probleme nicht direkt in Form eines linearen Gleichungssystems gegeben, sondern ergeben sich im Zuge der Modellierung oder der Diskretisierung und Approximation von Problemen, z. B. von Differentialgleichungen oder Optimierungsproblemen. Solche linearen Gleichungssysteme sind unter Umständen sehr groß. Groß bedeutet, dass Gleichungssysteme mit vielen Millionen bis Milliarden Unbekannten gelöst werden müssen. Wir werden uns in diesem Abschnitt ausschließlich mit reellwertigen Matrizen befassen. Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen klassifiziert man als direkte Verfahren, welche die Lösung des Gleichungssystems unmittelbar und bis auf Rundungsfehlereinflüsse exakt berechnen und iterative Verfahren, welche die Lösung durch eine Fixpunktiteration approximieren.