Fortgeschrittene Methoden der linearen Algebra

Das Kapitel beginnt mit allgemeinen Koordinatentransformationen und Projektionen, welche etwa zum Projizieren von Punkten auf Geraden oder (Hyper-)Ebenen benutzt werden und etwa in der Signalverarbeitung im Zusammenhang mit der Fourier- und Laplace-Transformation wichtige Rollen spielen. Dann führen wir die Blocknotation von Vektoren und Matrizen ein, mit der sich viele komplizierte Rechnungen stark vereinfachen lassen. Um das Verhalten von Matrizen als lineare Abbildungen zu charakterisieren, definieren wir die Begriffe Rang (Anzahl linear unabhängiger Spalten), Range (Bildmenge), Kern (Definitionsbereich, der auf den Nullvektor abgebildet wird) und die Spur (Summe der Hauptdiagonalen). Wir definieren zwei Matrizen als „ähnlich“, falls sie bis auf die Wahl des Koordinatensystems dieselbe lineare Abbildung darstellen. Als zentralen Teil des Kapitels definieren wir die Begriffe Eigenwert, Eigenvektor und Diagonalisierung, die uns zu Koordinatentransformationen führen, mit denen lineare Abbildungen in unabhängige Komponenten zerfallen. Wir bestimmen Bedingungen für Diagonalisierbarkeit und zeigen, dass zumindest hermitesche und unitäre Matrizen diagonalisierbar sind. Anschließend zeigen wir dazu wichtige Anwendungen wie Matrixpotenzen und -wurzeln, und euklidische Transformationen bzw. Rotationen und Spiegelungen im n-dimensionalen Raum. Schließlich diskutieren wir, wie man Volumen von n-dimensionalen Objekten (z. B. Parallelotopen) berechnet und führen den Begriff (positive und negative) Definitheit von Matrizen ein.