Vektorrechnung und Lineare Algebra

Dieses Kapitel führt axiomatisch Vektorräume ein. Als anschauliches Beispiel lernen wir den n-dimensionalen kanonischen Vektorraum \(K^n\) kennen, dessen Elemente Vektoren sind, die man als Listen von Körperelementen der Länge n schreibt. Hiermit veranschaulichen wir Vektoraddition, -subtraktion und -skalierung und definieren geometrische Objekte wie Geraden und Ebenen im n-dimensionalen Raum. Wir bestimmen Schnittpunkte von Geraden und Ebenen, was uns auf lineare Gleichungssysteme (LGS) führt, die wir mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahrens lösen. Mit den Normierungsaxiomen definieren wir Normen, mit denen wir die Länge von Vektoren bestimmen können, z. B. mit euklidischer Norm, Manhattan-Distanz oder Maximumnorm. Wir definieren dann das Skalarprodukt, mit dem man etwa den Winkel zwischen zwei Vektoren oder die Projektion zweier Vektoren bestimmen kann. Danach werden die Begriffe lineare Unabhängigkeit, Basis und Koordinaten definiert und Methoden hergeleitet, wie man durch Lösen von LGS zwischen verschiedenen Koordinatendarstellungen umrechnen kann. Wir führen dazu die Matrixdarstellung ein, mit der man ein LGS kompakt darstellen kann. Wir sehen, dass Matrizen linearen Abbildungen entsprechen, welche Vektoren auf Vektoren abbilden. Die Verkettung von linearen Abbildung führt uns zur Definition der Matrizenmultiplikation und diese zu den Themen Matrixinvertierung, Determinante und Matrixtransponierung. Zudem betrachten wir Vereinfachungen für die Spezialfälle diagonaler, symmetrischer, hermitescher, orthogonaler und unitärer Matrizen.