Die komplexe Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen

Wir definieren hier zunächst die Euler-Zahl e bzw. die Exponentialfunktion mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen und Taylor-Reihenentwicklungen als diejenige Funktionen, deren Ableitung dieselbe Funktion ist. Da die Herleitung nur auf Rechenoperationen in Körpern beruht, können wir daraus auch die komplexe Exponentialfunktion definieren. Überrascht stellen wir fest, dass die komplexe Exponentialfunktion mit rein imaginärem Exponenten Punkte auf dem Einheitskreis beschreibt. Wir definieren deshalb Kosinus- und Sinusfunktion als deren Real- und Imaginärteil. Aus der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion erhalten wir dadurch viele interessante Eigenschaften von Sinus und Kosinus. Es zeigt sich, dass diese Definition äquivalent zur üblicheren Definition von Sinus und Kosinus als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises ist. Damit berechnen wir rechtwinklige und allgemeine Dreiecke und leiten den Satz des Pythagoras sowie den Sinus- und Kosinussatz her. Wir lernen, dass man komplexe Zahlen anstatt über Real- und Imaginärteil alternativ auch in Polarkoordinaten darstellen kann, wie man zwischen den beiden Beschreibungen umrechnet und dass die Polarkoordinatendarstellung viel besser geeignet ist, um komplexe Zahlen zu multiplizieren, dividieren, potenzieren oder Wurzeln zu ziehen. Abschließend behandeln wir das Phänomen, dass einfache Gleichungen wie \(z^n=1\) im Komplexen außer den „trivialen“ Lösungen +1 und −1 noch viele weitere Lösungen haben können, was uns zum Begriff der komplexen Einheitswurzeln führt.