Differentialrechnung

In diesem Kapitel definieren wir den für die Differentialrechnung zentralen Begriff der Ableitung. Die Ableitung einer Funktion entspricht dabei ihrer Tangentensteigung, die als Grenzwert des Differenzenquotienten (oder der Sekantensteigung) definiert werden kann. Wir diskutieren den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit und lernen einen Katalog von elementaren Ableitungen einfacher Funktionen sowie von Ableitungsregeln wie Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel kennen. Wir definieren Ableitungen höherer Ordnung (als Ableitungen von Ableitungen) und diskutieren notwendige und hinreichende Bedingungen für Maxima und Minima von Funktionen. Dann leiten wir die Mittelwertsätze und den Satz von Taylor her, nachdem man differenzierbare Funktionen beliebig genau als sogenannte Taylor-Polynome darstellen kann (und damit mit Computern berechnen kann). Abschließend behandeln wir den Zusammenhang zwischen der Ableitung und der (konvexen oder konkaven) Krümmung und Monotonie von Funktionskurven sowie der Rolle von Sattel- und Wendepunkten.