Rationale Funktionen und Stetigkeit

Hier behandeln wir zunächst Polynome und rationale Funktionen, zwei wichtige Funktionsklassen, die mit den vier Grundrechenoperationen ( \(+,-,\cdot ,:\) ) auskommen und somit von digitalen Computern berechnet werden können. Zunächst behandeln wir Polynome, die sogar ohne Division auskommen. Wir lernen einige Standardpolynome kennen (Gerade, Parabel, kubisches Polynom) und diskutieren Nullstellen und deren Vielfachheit. Dann definieren wir Polynomaddition, -subtraktion, -multiplikation und -Division und stellen fest, dass die Menge aller Polynome fast (aber leider nicht ganz) einen Körper bildet. Da bei der Polynomdivision das Ergebnis meist kein Polynom ist (sondern ein Rest übrig bleiben kann), existiert im Allgemeinen kein Inverses bzgl. der Polynommultiplikation. Deshalb bilden Polynome „nur“ einen sogenannten Ring, was ein Körper ohne Division ist. Weiter lernen wir, dass die Polynommultiplikation effizient als sogenannte Faltungsoperation dargestellt werden kann. Schließlich leiten wir den Fundamentalsatz der Algebra her, wonach ein Polynom vom Grad n immer genau n komplexe Nullstellen besitzt und als Produkt der entsprechenden Linearfaktoren geschrieben werden kann. Als Erweiterung von Polynomen bilden rationale Funktionen (mit Division) wiederum einen vollwertigen Körper. Abschließend definieren wir die Begriffe Polstelle, Monotonie und Stetigkeit. Stetigkeit drückt aus, dass eine Funktion ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Um dies mathematisch sauber zu definieren, verallgemeinern wir den Grenzwertbegriff von Folgen auf Funktionen.