Grenzwerte von Folgen und Reihen

Hier wird der für die Analysis grundlegende Begriff des Grenzwertes von Zahlenfolgen definiert. Hierfür benötigen wir die etwas umständliche „Epsilon-Notation“, welche über den Abstand der Zahlenfolge vom behaupteten Grenzwert argumentiert, um zu ermitteln, ob eine Zahlenfolge entweder konvergiert oder divergiert. Um diese umständliche Notation so weit wie möglich zu vermeiden, leiten wir dann Rechenregeln her, mit denen wir Grenzwerte von komplizierten Zahlenfolgen nach Umformung aus bereits bekannten einfacheren Grenzwerten bestimmen können. Die gängige Technik ist es, dabei eine Zahlenfolge so umzuformen, dass sie nur noch aus Konstanten und Nullfolgen (mit Grenzwert 0) besteht, sodass man das Ergebnis mit den Rechenregeln einfach ablesen kann. Im zweiten Teil des Kapitels werden Reihen behandelt, welche als Summen über Zahlenfolgen definiert werden. Wir sehen, dass die Werte von Reihen ebenfalls als Grenzwerte von (Teilsummen-)Folgen verstanden werden können. Damit können wir unsere Rechenregeln für die Grenzwerte von Zahlenfolgen auch auf Reihen anwenden. Als wichtiges Beispiel lernen wir die geometrische Reihe kennen, welche man häufig benutzt, um über das Majoranten- und Minorantenkriterium andere kompliziertere Reihen abschätzen zu können. Abschließend behandeln wir das Wurzelkriterium, mit dem man relativ bequem Aussagen zur Konvergenz oder Divergenz von Reihen machen kann.