Rechnen in Körpern

Dieses Kapitel behandelt das Rechnen in drei wichtigen Zahlenmengen, den rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Um nicht die dreifache Arbeit zu haben, subsumieren wir diese Zahlenkörper unter dem Begriff des Körpers. Wir stellen fünf Axiome auf, welche die wesentlichen Eigenschaften dieser Zahlenmengen in Verbindung mit Addition und Multiplikation ausdrücken und die zumindest für den Fall rationaler und reeller Zahlen unmittelbar einsichtig sind. Aus diesen wenigen Axiomen leiten wir dann zunächst das übliche Schulwissen über das Rechnen mit reellen Zahlen für allgemeine Körper her: Dazu gehören etwa das Bruchrechnen, die binomischen Formeln, Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, das Lösen von einfachen linearen Gleichungen sowieso das Lösen von quadratischen Gleichungen mit der Mitternachtsformel. Durch das Hinzufügen von vier weiteren („Anordnungs-“)Axiomen definieren wir die angeordneten Körper (deren Elemente man auf einer Linie „von klein nach groß“ anordnen kann) und behandeln das Lösen von Ungleichungen. Zudem führen wir neue Begriffe wie Intervall, Schranke, Maximum/Minimum und Supremum/Infinum ein. Nach der eindeutigen Charakterisierung der rellen Zahlen über das zusätzliche Vollständigkeitsaxiom definieren wir die komplexen Zahlen über die imaginäre Einheit i und weisen nach, dass sie einen Körper bilden. Abschließend behandeln wir das Rechnen mit konjugiert komplexen Zahlen, den Absolutbetrag und die Dreiecksungleichung.