Mehrdimensionale Differentialrechnung

Dieses Kapitel verallgemeinert die Differential- und Integralrechnung von eindimensionalen auf mehrdimensionale Funktionen. Wir definieren zunächst Jacobi-Matrix bzw. Gradientenvektor als die 1. Ableitung mehrdimensionaler Funktionen, deren Komponenten gewöhnlichen eindimensionalen (partiellen) Ableitungen entsprechen. Damit zeigen wir, wie man mit Gradienten die Richtung des steilsten Anstiegs oder Abstiegs einer Funktion bestimmt. Dies führt auf effiziente Optimierungsverfahren wie Gradientenabstieg, welche etwa im Maschinellen Lernen zum Trainieren von Neuronalen Netzen eine dominierende Rolle spielen. Wir verallgemeinern die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel sowie den Mittelwertsatz für mehrdimensionale Funktionen. Dann definieren wir die Hesse-Matrix als 2. Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion. Damit können wir quadratische Taylor-Entwicklungen herleiten und notwendige und hinreichende Bedingungen für Maxima/Minima angeben. Nach einer Übersicht der wichtigsten Ableitungen von linearen und quadratischen Funktionen verallgemeinern wir den Begriff Konvexität auf mehrdimensionale Funktionen. Wir stellen Optimierungsverfahren wie das Newton-Verfahren vor, mit dem man sehr effizient Nullstellen und/oder Maxima/Minima bestimmen kann. Zudem behandeln wir Optimierung mit Nebenbedingungen, was uns auf Lagrange-Multiplikatoren und das KKT-Theorem führt. Abschließend verallgemeinern wir Riemann-Integrale für mehrdimensionale Funktionen und zeigen, wie man sie in der Praxis als Verkettung eindimensionaler Integrale berechnen kann. Abschließend behandeln wir den Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel, definieren Varianten wie Kurvenintegrale und geben Anwendungsbeispiele etwa für Flächenberechnungen in Polarkoordinaten.