Mathematische und logische Grundlagen

Ziel des Buches ist es, alle wichtigen Erkenntnisse aus Analysis, Linearer Algebra, Kombinatorik und Stochastik aus minimalen Grundannahmen, den Axiomen, durch logisches Schließen herzuleiten. Hierzu wird eine spezielle mathematisch-logische Sprache benötigt, die als formalisierte abstrakte und dadurch präzisere Variante der Alltagssprache verstanden werden kann. In diesem Kapitel wird hierzu das Fundament gelegt, wobei wir auf der umgangssprachlichen Ebene starten, um uns dann der formalen mathematisch-logischen Sprache zu nähern. Wir definieren zunächst Mengen und Listen beliebiger Dinge (z. B. Zahlen) als grundlegende mathematische Entitäten. Darauf aufbauend sind Relationen spezielle Mengen von Listen, die Beziehungen zwischen Dingen ausdrücken. Schließlich sind Funktionen spezielle Relationen zwischen Definitionsmengen und Bildmengen, die jedem Objekt der Definitionsmenge genau ein Objekt der Bildmenge zuordnen. Danach definieren wir Notationen, um logische Aussagen über solche Dinge auszudrücken, und nähern uns dem Begriff einer formalen Theorie als System aus Definitionen, Axiomen, Sätzen und Beweisen. Wir lernen, wie man mit Wahrheitstabellen prüfen kann, ob logische Aussagen wahr sind. Damit können wir auch komplexere Denk- und Beweistechniken wie z. B. Modus ponens, Äquivalenzbeweis und vollständige Induktion verstehen und deren Korrektheit nachweisen. Diese Denk- und Beweistechniken werden dann in den folgenden Kapiteln exzessiv benutzt, um formale Theorien über das Rechnen mit Zahlen, Vektoren und Wahrscheinlichkeiten aufzubauen.