Bewegungen der Zahlensphäre

Im Jahr 2007 erschien das Video „Möbius Transformations Revealed“ von Douglas N. Arnold und Jonathan Rogness, das den Zusammenhang zwischen Riemannscher Zahlensphäre und Möbius-Transformationen offenlegt. Das Video ging in kürzester Zeit viral und wurde allein auf YouTube bis heute über 2.1 Millionen Mal aufgerufen. Das vorliegende Kapitel enthält den sauber ausgearbeiteten Beweis zum Video und zeigt, wie sich jede Möbius-Transformation durch Bewegungen der Zahlenkugel im Raum darstellen lässt. Zugrunde liegt eine Idee Bernhard Riemanns, der diese Beziehung 1860/1861 erkannte. Insbesondere beantworten wir die Frage, welche Möbius-Transformationen den Kugeldrehungen entsprechen. Zugleich erhalten wir einen Beweis für die Winkeltreue von Möbius-Transformationen. Dankenswerterweise erlaubten mir Douglas N. Arnold und Jonathan Rogness die Einbindung ihres qualitativ hochwertigen Bildmaterials im Zuge dieser Veröffentlichung.