Möbius-Transformationen

August Ferdinand Möbius (1790–1868) untersuchte in seiner Arbeit „Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung“ (1855) einen besonders wichtigen Abbildungstypen, der sich auf ℂ̂ definieren lässt. Dabei erforschte er, welche Eigenschaften von Figuren unter diesen, heute nach ihm benannten, Transformationen unverändert blieben. Dieses Kapitel enthält eine umfangreiche Einführung zu Möbius-Abbildungen. Neben der Isomorphie zur projektiven linearen Gruppe PGL(2,ℂ), werden wir die Zerlegung in Elementartransformationen kennenlernen und deuten. Ihr Studium ist für das Verständnis von Möbius-Transformationen grundlegend, da sich jede Möbius-Transformation aus ihnen zusammensetzt. Die Frage, wie viele Urbild- und Bildpunkte benötigt werden, um eine Möbius-Transformation eindeutig festzulegen und wie wir sie berechnen können, wird uns im Abschnitt über das Fixpunktverhalten und das Doppelverhältnis beantwortet. Ein Exkurs über die Klassifizierung von Möbius-Transformationen durch ihr Verhalten in Umgebungen der Fixpunkte schließt das Kapitel ab.