Die Riemannsche Zahlenkugel

BisherRiemannsche Zahlenkugel haben wir zur Veranschaulichung der komplexen Zahlen die GaußscheGaußsche Zahlenebene Zahlenebene verwendet. Für viele Zwecke ist es jedoch sinnvoll, die Menge der komplexen Zahlen um einen zusätzlichen „unendlichPunkt, unendlich ferner fernen“ Punkt \({\infty }\notin {\mathbb{C}}\) zu erweitern. Wir schreiben \(\widehat{\mathbb{C}}\,{:=}\,{\mathbb{C}}\cup \left\{\infty \right\}\) und bezeichnen \(\widehat{\mathbb{C}}\) als erweiterte komplexeEbene, erweiterte komplexe Ebene. In diesem Kapitel lernen wir ein anschauliches Modell der erweiterten Ebene kennen: die Riemannsche Zahlenkugel. In ihm wird der Punkt Unendlich zum Greifen nahe! Neben einer Konstruktionsanweisung dieser Kugel, werden wir \(\widehat{\mathbb{C}}\) mit einer Topologie versehen und die Homöomorphie zwischen Zahlenkugel und \(\widehat{\mathbb{C}}\) beweisen. Weiterhin werden wir die chordale Metrik einführen und die stereographische Projektion auf Winkel- und Kreistreue untersuchen, die aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften neben der Mercator-Projektion seit langem Anwendungen in der Kartographie findet.