Integration und Ableitung – Eine Verallgemeinerung der Methode des Gregorius

In diesem Kapitel wird ein neuer Zugang zur Integral- und Differentialrechnung vorgestellt, bei der Flächen unter den Graphen aller Basisfunktionen der Schule und Tangenten an diesen Funktionsgraphen mit elementargeometrischen Mitteln bestimmt werden. Dies wird bei Potenzfunktionen – insbesondere bei \(y=1/x\)  –, bei Exponentialfunktionen, beim Logarithmus und bei den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus durchgeführt. Die hier vorgestellte Methode baut auf den Erkenntnissen des Gregorius von St. Vincent auf, der bereits im siebzehnten Jahrhundert interessante Beiträge zur Bestimmung der Fläche unter einer Hyperbel entwickelt hatte. Diese Ideen werden hier aufgegriffen und für viele andere Funktionstypen, besonders diejenigen, die in der Schule auftreten, verallgemeinert. Diese Betrachtungen erfolgen ohne den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die hier vorgestellte Methode geht rein geometrisch zu Werk, deckt alle bekannten Schulfunktionen ab und argumentiert einheitlich systematisch, ohne dabei Integration als Antiderivation vorzustellen. Dabei werden Streckungen und Verschiebungen der Funktionsgraphen verwendet.