Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper

Ein Großteil des Erfolgs der modernen Algebra beruht auf der Idee der Körpererweiterung. Erst die Erweiterung der reellen Zahlen \({\mathbb R}\) zum Körper \({\mathbb C}\) der komplexen Zahlen ermöglichte etwa die einheitliche Behandlung quadratischer Gleichungen \(a \, X^2 + b \, X + c = 0\) mit \(a, \, b, \, c \in {\mathbb R}\) , \(a \neq 0\) . Der (klassische) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass nicht nur quadratische Polynome, sondern jedes Polynom aus \({\mathbb C}[X]\) vom Grad \(\geq 1\) in \({\mathbb C}\) eine Wurzel hat und somit über \({\mathbb C}\) vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Einen (jetzt beliebigen) Körper K mit dieser Eigenschaft nennt man algebraisch abgeschlossen. Ist ein Körper K nicht algebraisch abgeschlossen, so werden wir eine algebraische Erweiterung \(\overline K/K\) konstruieren, wobei \(\overline K\) algebraisch abgeschlossen ist. Das heißt, wir begründen einen fundamentalen Satz der Algebra: Jeder Körper hat einen algebraischen Erweiterungskörper, der algebraisch abgeschlossen ist – dieser ist im Wesentlichen eindeutig bestimmt. So ist beispielsweise \({\mathbb C}\) dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte algebraische Abschluss von \({\mathbb R}\) .