Einfache und algebraische Körpererweiterungen

Die einfachste Körpererweiterung \(L/K\) ist die einfache Körpererweiterung \(K(a)/K\) , also der Fall \(L = K(a)\) für ein \(a \in L\) . Tatsächlich ist dieser Fall schon sehr allgemein, da sich für \(L = K(a_1 ,\ldots ,\, a_n)\) mit über K algebraischen Elementen \(a_1 ,\ldots ,\, a_n\) oft ein Element \(a \in L\) bestimmen lässt, sodass \(K(a_1 ,\ldots ,\, a_n) = K(a)\) gilt (man vgl. etwa Aufgabe 21.11 und den Satz 26.6 vom primitiven Element). Insofern ist es wichtig, die Struktur der einfachen Körpererweiterungen \(K(a)/K\) aufzuklären. Das ist nach L. Kronecker und H. Weber mit dem Polynomring \(K[X]\) möglich. Das Ergebnis ist denkbar einfach: Ist a transzendent über K, so gilt \(K(a) \cong K(X)\) , ist a algebraisch über K, so gilt \(K(a) \cong K[X] / (m_{a, \, K})\) .