Das Quadratische Reziprozitätsgesetz *

Wir gehen der Frage nach, für welche Zahlen \(a \in {\mathbb {Z}}\) und \(m\in {\mathbb N}\) die Kongruenzgleichung \(\displaystyle \begin{aligned} X^2 \equiv a \, (\operatorname{mod} \, m) \, . \end{aligned}\) lösbar ist, ob also a ein Quadrat oder ein Nichtquadrat modulo m ist. Erste Teilantworten auf diese Frage aus der Zahlentheorie – man spricht von einer quadratischen Diophantischen Gleichung – lieferten Fermat, Euler und Lagrange. Gauß veröffentlichte 1801 den ersten vollständigen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, das ein effektives Verfahren liefert, um zu entscheiden, ob eine gegebene Zahl modulo einer Primzahl ein Quadrat oder ein Nichtquadrat ist. Gauß gab 8 verschiedene Beweise dieses Gesetzes an, heutzutage kennt man mehr als 150 verschiedene Beweise. Wir geben im vorliegenden Kapitel einen elementaren Beweis an, in einem späteren Abschn. 30.5 liefern wir einen kurzen Beweis, der aber einige weitere Kenntnisse verlangt.