Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe

Dieses letzte Kapitel zur Ringtheorie widmen wir erneut den Polynomringen. Das hat seinen Grund: Jeder Polynomring \(K[X]\) über einem Körper K ist ein Hauptidealring. Jedes von einem irreduziblen Polynom P erzeugte Hauptideal \((P)\) ist ein maximales Ideal in \(K[X]\) . Der Faktorring \(K[X]/(P)\) ist damit ein Körper. Damit landen wir in der Körpertheorie; wir beginnen damit im nächsten Kapitel. Im vorliegenden Kapitel entwickeln wir Kriterien, anhand derer wir entscheiden können, ob gegebene Polynome irreduzibel sind oder nicht.