Polynomringe

Reelle Polynome werden in der linearen Algebra oft ungenau als formale Ausdrücke \(\displaystyle \begin{aligned} a_0 + a_1 \, X + \cdots + a_n \, X^n \end{aligned}\) mit Koeffizienten \(a_0 ,\ldots ,\, a_n \in {\mathbb R}\) in einer Unbestimmten X erklärt. Addition und Multiplikation solcher reeller Polynome erfolgen dabei nach den Regeln \(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i=0}^n a_i \, X^i + \sum_{j=0}^m b_j \, X^j & = \sum_{i=0}^{\max\{n, m\}} (a_i + b_i) \, X^i \quad \text{und } \\ \sum_{i=0}^n a_i \, X^i \cdot \sum_{j=0}^m b_j \, X^j & = \sum_{k=0}^{n + m} \sum_{i+j=k}(a_i \, b_j) \, X^k \, , \end{aligned} \) wobei \(a_i = 0\) für \(i > n\) bzw. \(b_j = 0\) für \(j > m\) gesetzt wird. Eines unserer Ziele in diesem Kapitel ist es, eine einwandfreie Definition von Polynomen zu geben. Dabei wollen wir uns nicht auf nur eine Unbestimmte X beschränken, sondern auch Polynome in den Unbestimmten \(X_1 ,\ldots ,\, X_n\) einführen.