Freie Gruppen *

In einer Gruppe G mit Erzeugendensystem S ist nach dem Darstellungssatz 3.2 jedes Gruppenelement darstellbar als endliches Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen aus \(S \cup S^{-1}\) . Die weitere Struktur von G wird dann durch gewisse Beziehungen (man sagt auch Relationen) zwischen den erzeugenden Elementen bestimmt. So gilt etwa für die Diedergruppe \(D_n\) (siehe Abschn. 3.1.5 ): \(\displaystyle D_n = \langle \alpha , \, \beta \rangle \quad \text{mit} \quad \alpha ^2 = 1 \, , \ \beta ^n = 1 \, , \ \alpha \, \beta \, \alpha ^{-1} = \beta ^{-1} \, , \) wobei natürlich 1 das neutrale Element der Diedergruppe \(D_n\) bezeichnet. Man sagt, \(D_n\) wird durch die Erzeugenden \(\alpha , \, \beta \) und die Relationen \(\alpha ^2 = 1 \, , \ \beta ^n = 1 \, , \ \alpha \, \beta \, \alpha ^{-1} = \beta ^{-1}\) definiert.