Die Momentenmethode

Thema dieses Kapitels ist eine grundlegende Methode, um Verteilungskonvergenz nachzuweisen, die sogenannte Momentenmethode. Liegt eine gleichgradig integrierbare Folge von Zufallsvariablen vor, so folgt im Falle von Verteilungskonvergenz auch die Konvergenz der Erwartungswerte gegen den Erwartungswert der Grenzverteilung. Besitzen alle Zufallsvariablen Momente beliebiger Ordnung, und konvergiert für jede natürliche Zahl k die Folge der k-ten Momente gegen das k-te Moment einer Zufallsvariablen X, so konvergiert die Folge in Verteilung gegen X, sofern die Verteilung von X durch die Folge der Momente von X eindeutig bestimmt ist. Eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die momentenerzeugende Funktion von X in einer Umgebung des Nullpunktes existiert.