Hilbert’sche Axiomatik und synthetisches Apriori

Leonard Nelson (1882–1927) und Gerhard Hessenberg (1874–1925) haben Parallelen zwischen dem axiomatischen Programm von David Hilbert (1862–1943) und der Philosophie von Jakob Friedrich Fries (1773–1843) aufgezeigt. In Anlehnung an Kants kritische Philosophie betrachtete Nelson die Mathematik als ein System synthetischer Urteile a priori, die auf reiner Anschauung beruhen. Synthetizität bedeutet für Nelson demnach: die widerspruchsfreie Möglichkeit des logischen Gegenteils. Der synthetische Charakter der mathematischen Sätze hat zur Folge, dass auch logisch einander widersprechende mathematische Sätze möglich sein müssen. Damit lässt sich beispielsweise die Möglichkeit nichtkommutativer und nicht-assoziativer Algebren sowie nicht-euklidischer Geometrien begründen. Letztlich wird Nelson der Position Hilberts nicht gerecht, der Axiomensysteme als Systeme analytischer Urteile betrachtet. Nelsons Philosophie der Mathematik blieb ein Fragment.