Euler verfasste in Berlin eine analytische Trilogie, deren Abschluss (Integralrechung) in Peterburg erfolgte. Zu dieser Trilogie sollten wir unbedingt auch die Variationsrechung zählen, um den Kreis genügend weit zu ziehen. Während die Einleitung der Trilogie (Introductio) als Leitbegriff den funktionalen analytischen Ausdruck aufweist, der die variablen Größen bei den Vorgängern Eulers ersetzt wird. Die Funktion in der Fassung des analytischen Ausdrucks weckt die Hoffnung, sich als angemessen für die Arbeit mit Potenzreihen zu erweisen. Es zeigt sich jedoch bei der Behandlung des Problems der schwingenden Saite, dass Potenzreihen für die Lösung unzureichend sind. Eulers Einstellung war hier wie immer, dass man die Lösungstheorie (also den Funktionsbegriff) anpassen und erweitern müsse, was in diesem Fall auf längere Auseinandersetzung zwischen den Mathematikern d'Alembert, D. Bernoulli und schließlich auch noch Lagrange führte. Trigonometrische Lösungen wiesen bereits auf ein neues Konzept hin, das aber erst im nächsten Jahrhundert in Fourier seinen Meister fand. Die Differentialrechnung bringt nicht nur Betrachtungen über das unendlich Kleine, sondern auch Eulers allgemeinen Funktionsbegriff, dessen verbale Fassung vermutlich durch die Behandlung der schwingenden Saite angeregt wurde. Euler benutzte ihn allerdings noch nirgends in seinen Arbeiten. Die Variationsrechnung mit ihren neuen Verfahren eröffnete neue Anwendungen und führte in der sog. Prinzipienmechanik zu heftigen weltanschaulichen Auseinandersetzungen.