Das Lebesgue-Integral

Die Mängel des Riemann’schen Integrals werden durch das Lebesgue-Integral behoben. Typischerweise wird das anspruchsvollere Lebesgue-Integral im Rahmen der Maßtheorie im mehrdimensionalen Raum \({\mathbb R}^n\) studiert, es gibt aber gute Gründe, das eindimensionale Integral zuerst zu betrachten. Zum einen ist die eindimensionale Theorie zugänglicher, zum anderen stellt es die Vervollkommnung des Riemann’schen Integrals dar. Zielstrebig vermeiden wir, maßtheoretische Begriffe in allen ihrer Verästelungen vorzuführen und konzentrieren uns auf die für das Lebesgue-Integral wesentlichen Aspekte; u. A. erfolgt die Konstruktion des Integrals mittels Verteilungsfunktionen – ein zweckmäßiger Zugang, der üblich in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist. Bezüge zu bestimmte Klassen von Funktionen (wie z. B. monotone, konvexe, lipschitzstetige oder trigonometrische Polynome) sind zum besseren Verständnis der Theorie nützlich und bieten Einblicke zur Relevanz des Integrals für andere Gebiete der Mathematik – insbesondere die Funktionalanalysis und die Fourier Analysis.