Das Riemann’sche Integral

Im Kap. 6 haben wir die Ableitung als lokale Änderungsrate einer Funktion eingeführt. Es stellt sich die Frage, ob eine Funktion aus ihrer Ableitung wiederzugewinnen ist. Auch, wie kann man im Falle einer vorgegebenen Funktion erkennen, ob diese eine Ableitung ist? Um diese Frage für eine umfangreiche Klasse von Funktionen zu beantworten, braucht man einen Integralbegriff: Die grundlegende Entdeckung von Newton und Leibniz besagt im Wesentlichen, dass Integration die zur Differentiation inverse Operation ist. Der Riemannsche Integralbegriff ist der einfachste, während die anspruchsvollere Integrationstheorie von Lebesgue als eine Fortsetzung auf eine wesentlich umfangreichere Funktionenklasse angesehen werden kann, die zusätzlich besonders nützliche Eigenschaften bezüglich Grenzwerte von Funktionenfolgen aufweist. Diese Überlegenheit ist meistens aber in den feineren Untersuchungen der Analysis zu spüren, während für praktische Zwecke (z. B. im Falle einer der wichtigsten Anwendungen, nämlich Flächeninhalten die von stetigen Funktionen bestimmt werden) und allgemeiner für beschränkte Funktionen mit „wenigen“ Unstetigkeitsstellen (in einem Sinn der ganz genau definiert wird), lässt sich der Riemannsche Integralbegriff leichter handhaben. Daher werden wir in diesem Kapitel das Riemannsche Integral einführen und besprechen.