Grenzwert und Stetigkeit

Wir erweitern den Grenzwertbegriff von reellen Folgen auf reelle Funktionen: nähert sich die unabhängige Variable einem festen Punkt, so nähern sich auch die entsprechende Funktionswerte einem festen Wert, statt wild herumzuspringen. Dies ermöglicht uns, den Begriff der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt einzuführen, sodass kleine Veränderungen der unabhängigen Variable nur zu kleinen Änderungen der Funktionswerte führen. Stetigkeit ist aber eine lokale Eigenschaft der Funktion, die einem einzelnen Punkt im Definitionsbereich zugeordnet wird und ausschließlich vom Verhalten der Funktion in einer kleinen Umgebung dieses Punktes abhängt, ohne Aussagekraft über das Verhalten der Funktion in benachbarten Punkten. Hingegen erzwingt die Stetigkeit in allen Punkten des Definitionsbereichs weitreichende Aussagen, die der anschaulicher Vorstellung einer Bewegung ohne abrupte Sprünge oder eines Graphen den man in einem Zug und ohne abzusetzen zeichnen kann. Sie bildet die Grundlage für viele fundamentale Sätze der Analysis (wir z. B. der Zwischenwertsatz und Sätze über Minima/Maxima), die wir genau untersuchen werden.