Topologische Strukturen auf \({\mathbb R}\)

In den Untersuchungen der Kap. 2 und 3 sind Intervalle besonders wichtig und somit als Untermengen von \({\mathbb R}\) mit einer besonderen Struktur ausgezeichnet. Dabei spielt weniger die genaue Länge eine Rolle, sondern eher qualitative Eigenschaften, z. B. dass sie keine Lücken aufweisen, offen oder abgeschlossen sind. Um die relevante Struktur besser zu beschreiben, besprechen wir in diesem Kapitel einige Grundbegriffe der Topologie (oder Analysis situs, griechisch-latein für „Analyse des Ortes“, wie sie früher genannt wurde). Topologie kann man als den Teil der Geometrie betrachten, der den Begriff der Nähe formalisiert, aber qualitative Merkmale im Großen statt quantitative Eigenschaften im Einzelnen studiert (z. B. obwohl Distanzen eine wichtige Rolle spielen, werden sie ziemlich grob behandelt). Unter anderem sind Verformungen einer Menge bedeutungslos, wie z. B. in anschaulichen Fällen das Dehnen und Verbiegen einer geometrischen Figur (sodass ein Dreieck und ein Fünfeck aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden sind und Intervalle von unterschiedlichen Längen auch topologisch die gleiche Struktur aufweisen, die sich aber von der ersten unterscheidet da Endpunkte auftreten). Es stellt sich heraus, dass die mengentheoretische Topologie von \({\mathbb R}\) allgemein zugänglich ist, aber dennoch ein paar Überraschungen und Komplikationen aufweist.