Reelle Folgen und Reihen

In diesem Kapitel betrachten wir reelle Folgen \(\{x_n\}_{n \ge 1}\) , d. h. Funktionen \(n \mapsto x_n\) , die auf den natürlichen Zahlen definiert sind, also nur abzählbar viele reelle Werte annehmen können. Hierbei interessieren wir uns für das asymptotische Verhalten der Glieder \(x_n\) der Folge (d. h. das Verhalten für große Werte von \(n \in {\mathbb N}\) ), insbesondere falls sich diese immer weiter verdichten und sich somit, wie sich herausstellt, einem gewissen reellen Grenzwert x annähern. Der Grenzwertbegriff ermöglicht es uns, die Vollständigkeit von \({\mathbb R}\) auf einer neuen Weise hervorzuheben und unendliche Summen der Form \(x_1+ \dots + x_n + \dots \) im Rahmen der Theorie der Reihen zu untersuchen. Der Begriff des Grenzwerts ist von fundamentaler Bedeutung für die Analysis – auf ihm basieren die Konzepte der Stetigkeit, Differenziation und Integration.